Ensembles finis Exemples

$(x - 3) (1 - x) = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$(x - 3) (1 - x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez $(x - 3) (1 - x) - 1$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Développez $(x - 3) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (1 - x) - 3 (1 - x) - 1 = 0$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 1 + x (- x) - 3 (1 - x) - 1 = 0$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 1 + x (- x) - 3 \cdot 1 - 3 (- x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + x (- x) - 3 \cdot 1 - 3 (- x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x - x \cdot x - 3 \cdot 1 - 3 (- x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x - (x \cdot x) - 3 \cdot 1 - 3 (- x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x - x^{2} - 3 \cdot 1 - 3 (- x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x - x^{2} - 3 - 3 (- x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$x - x^{2} - 3 + 3 x - 1 = 0$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $x$ et $3 x$ .

$4 x - x^{2} - 3 - 1 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$4 x - x^{2} - 4 = 0$

Étape 3

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$4 u - u^{2} - 4 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- u^{2} + 4 u - 4 = 0$

Étape 4.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u$ .

$- u^{2} + 4 (u) - 4 = 0$

Étape 4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$- u^{2} + (2 + 2) u - 4 = 0$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- u^{2} + 2 u + 2 u - 4 = 0$

Étape 4.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- u^{2} + 2 u) + 2 u - 4 = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (- u + 2) - 2 (- u + 2) = 0$

Étape 4.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 2$ .

$(- u + 2) (u - 2) = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(- x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 7

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ .

$- x + 2 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 2$